父親が借金を抱えたまま亡くなってしまいました。相続放棄をすれば自己破産せずに済むのですが、相続人が相続の放棄ができなくなるのはどのような場合ですか。

次のような場合には、相続を単純承認したものとして、原則として相続放棄をすることはできません。
1 自己のために相続開始の事実を知った時から3カ月以内に相続放棄もしくは限定承認の手続きをしなかったとき
2 相続財産の全部または一部を処分したとき、ただし保存行為は除く。

ここでいう「処分」とは、遺産を自分のものとして取り扱う行為のことをいい、例えば譲渡、隠匿、費消、相続人間での遺産分割協議、株主権の行使等が挙げられています。
逆に「処分」にあたらないものとしては、単純に遺産たる預金を解約ないし払い戻すこと、債権の取り立て(但し、解約・払い戻した金員及び取り立てた金員を費消すれば処分にあたります)、故人の治療費、葬儀費用の支払、墓石や仏壇の購入、並びに故人契約の水光熱費の支払、故人の債務に対する相続人固有の資産からの弁済、故人に遺産というべきものがない場合の残された些少な現金の受領、形見分け等が挙げられます。ただし、故人の住居から衣服、所持品、家財その他動産類をほとんど持ち帰る行為は「処分」にあたるとした裁判例があります。
以上のとおり、法定の単純承認行為によって相続放棄ができなくなり、結果として多大な負債を相続してしまうことがあります。具体的案件にあたっては、弁護士にご相談することをお勧めいたします。